若 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 的某个邻域里有定义, 且

则称 ${\displaystyle x_0}$ 是 ${\displaystyle f(x)}$ 的连续点, 也即 f (x) 在 ${\displaystyle x_0}$ 处连续.
这种表述也等价于 ${\displaystyle \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in o(x_0,\delta ):|f(x)-f(x_0)|<\epsilon }$.

• 若 ${\displaystyle \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=f(x_0)}$, 则称 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处右连续.
• 若 ${\displaystyle \underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=f(x_0)}$, 则称 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处左连续.

由定义立即看出, ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处连续 ${\displaystyle \iff f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处左连续, 且 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处右连续:

• 若 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (a,b)}$ 内每一点处连续, 则记 ${\displaystyle f(x)\in C(a,b)}$.
• 若 ${\displaystyle f(x)\in C(a,b)}$, 且在 ${\displaystyle a}$ 处右连续, 在 ${\displaystyle b}$ 处左连续, 则记 ${\displaystyle f(x)\in C[a,b]}$.

设 ${\displaystyle x_0}$ 的任意去心邻域与定义域的交不空, 若 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处不连续, 则称 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处间断.
间断的情形有三类:

1. 第一类是 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处没有定义.
2. 第二是 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处有定义, 但 ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}f(x)}$ 不存在.
3. 第三是 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处有定义, 且 ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}f(x)}$ 存在, 但 ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}f(x)\ne f(x_0)}$.

若 ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }}$, 则称 ${\displaystyle x_0}$ 是 ${\displaystyle f(x)}$ 的无穷间断点.
若 ${\displaystyle \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x),\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)}$ 存在但不相等, 则称 ${\displaystyle x_0}$ 是 ${\displaystyle f(x)}$ 的跳跃间断点.
若 ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}f(x)}$ 存在, 但 ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}f(x)\ne f(x_0)}$, 则称 ${\displaystyle x_0}$ 是 ${\displaystyle f(x)}$ 的可去间断点.

将跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 即它们都满足 ${\displaystyle x_0}$ 处存在单侧极限. 将无穷间断点归入第二类间断点, 除无穷间断点外的第二类间断点称为震荡间断点.

设 ${\displaystyle f(x),g(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处连续, 则有:

1. 局部有界性 ${\displaystyle \mathrm{\exists }M>0,\mathrm{\exists }{\delta }_0>0,\mathrm{\forall }x\in o(x_0,{\delta }_0):|f(x)|\le M}$.
2. 局部保号性 若 ${\displaystyle f(x_0)>0}$, 则 ${\displaystyle \mathrm{\forall }0<l<1,\mathrm{\exists }{\delta }_0>0,\mathrm{\forall }x\in o(x_0,{\delta }_0):f(x)>lf(x_0)>0}$.
3. 局部不等式性 若 ${\displaystyle f(x_0)>g(x_0)}$, 则 ${\displaystyle \mathrm{\exists }{\delta }_0>0,\mathrm{\forall }x\in o(x_0,{\delta }_0):f(x)>g(x)}$.
4. 若 ${\displaystyle \{x_n\}}$ 收敛 (且 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n}$ 存在), ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=f\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n\right)}$.
5. 四则运算 若 ${\displaystyle f(x),g(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处连续, 则 ${\displaystyle (f\pm g)(x),(fg)(x),\left(\frac{f}{g}\right)(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处连续 (这里 ${\displaystyle g(x_0)\ne 0}$).
6. 复合运算 若 ${\displaystyle \underset{u\to u_0}{lim}f(u)=f(u_0),\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=g(x_0),u_0=g(x_0)}$, 则 ${\displaystyle (f\circ g)(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处连续.

设 ${\displaystyle y=f(x)}$ 在区间 ${\displaystyle I}$ 上严格单调, ${\displaystyle y=f(x)\in C(I)}$, 则 ${\displaystyle f^{-1}(y)\in C(J)}$, 其中 ${\displaystyle J=f(I)}$.

设 ${\displaystyle y=f(x)}$ 在区间 ${\displaystyle E}$ 上连续, 并且: ${\displaystyle \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }{x}^{\prime },x^{″}\in E}$, 且 ${\displaystyle |x^{\prime }-x^{″}|<\delta :|f(x^{\prime })-f(x^{″})|<\epsilon }$, 则称 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle E}$ 上一致连续, 记为 ${\displaystyle f(x)\in U.C(E)}$.

${\displaystyle \mathrm{\exists }L>0,\mathrm{\forall }x,y\in E:|f(x)-f(y)|\le L|x-y|\Rightarrow f(x)\in U.C(E)}$.